对于只有一个自变量的函数，我们通常使用 表示自变量， 表示因变量（俗称「函数值」），二者都是某个具体的数的泛化。

而 的意思是「关于 的对应法则 」，这里的「对应法则 」既可以是表达式，也可以是函数图像、表格、数据，等等（见课本）。也就是说，它其实是某个具体的函数的泛化。

也就是说， 与 其实表示的是两个不同的概念。（划重点）

现行初中数学教科书利用平凡的代数变换，分别讨论了 正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数 的基本性质。然而，「函数」是一个通用的概念。只要是两个非空数集之间的映射关系，都是函数。如果按照函数解析式的类型，对不同种类的函数分别进行讨论，我们是永远讨论不完的。实际上，多项式函数如果按照次数分类的话，就有无穷多种。只不过，中学阶段只系统讨论一次函数与二次函数。更何况，还存在大量无法利用已有运算符号，从而无法利用函数解析式显式表示的函数。但是，这并不妨碍我们定义有关函数的通用概念，譬如：单调性、奇偶性、连续性、凹凸性、周期性，通过函数的通用性质对不同种类的函数进行讨论。这是高中数学第一章的主要内容。

题主应该知道，函数是描述因变量随自变量变化的数学概念。通俗地说，高中数学里面的「函数」其实相当于一种「广义的数」，专门用于表示纯数学或者实际问题中动态的量、变化的量。不断变化、不均匀、不规则在自然界与社会中普遍存在，不变的、规则的、均匀的才是特例。要想广泛地对变化中的事物利用数学手段进行严格的描述与定量研究，我们必需引入函数的概念。（划重点）

举一个经典的例子：对于非匀变的实际问题，我们经常需要计算不均匀变化过程中的瞬时变化率与不均匀变化过程中的总累积（几何意义就是曲线在某一点处的斜率，以及曲线在某一区间内与曲边图形围成的有向面积）。为了让这两类问题的求解思路形式化、套路化，一个很自然的想法就是对函数定义「导数」和「积分」两套运算，而它们又可以被定义为两类特殊的函数极限。

由此可见，极限、导数、积分等运算都是将函数进行的操作；相比之下，像是加减乘除、开方、对数、三角函数、双曲函数等初等运算，都是将数进行的操作。无论是讨论函数特殊的通用性质，还是用符号表示对函数定义的运算具有的运算性质，都需要一套能够同时表示自变量与对应法则的符号，用来泛指某个具体的函数。（划重点）

从本质上讲， 这个符号主要是为了方便讨论函数的 奇偶性、单调性、连续性、凹凸性、周期性等通用性质，避免冗长的文字叙述而特别引入的。这就如同你上初中，为了更方便地表示数字、式子之间的运算律、运算性质，以及通用的数量关系，从而特别引入了用 、 、 、 、 、 、 、 、 等字母表示具体的数，开启了初等代数的第一课。由此可见，诸如符号 、 、 、… 是对数字的一级泛化，而诸如符号 、 、 、 、 、 、… 则是对各种「对应法则」的一级泛化和对数字的二级泛化。

题主在高二学到平面解析几何时，会专门讲到「图形的方程」，你会发现表示某个具体图形的方程，只能写成带有 和 的形式，这里的 不能用 来表示 。例如：圆心为 ，半径长度是 4 的圆的方程可以写成 ，但不可以写成 。这是因为图形的方程表示它的任意一点在平面直角坐标系中的位置，无论是横坐标，还是纵坐标，表示的都是具体的实数，而不是关于某个字母（例如：恒坐标 、纵坐标 、参数 ）的数量关系。当然，如果表示任意平面图形的方程的话，写成 是可以的。

下面的图示可以帮助题主更好地理解自变量 、对应关系 、因变量 三者之间的关系。

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下面通过两道简单的题目，让题主更好地体会符号 的真正含义。

【分析】按照前面的解释，可知：函数 其实就是指「关于 的对应法则 」。 即：直接把原先函数 中 的位置全部替换为 ，且对应关系 依旧保持不变。当然， 既可以是表达式，也可以是函数图像、表格、数据，等等。

如果已知 ，如果题目要求 ，我们只需将这个表达式中 的位置全部替换为 ，然后化简即可。

即： 。

如果已知 ，由于已知 的解析式中找不到现成的 ，这说明该解析式已经被化简过了。我们需要先将已知函数解析式中本来出现的 「还原」回来，再将函数 中 的位置全部替换为 ，且对应关系 依旧保持不变。

我们可以有多种方法「还原」出被 替换之前， 的表达式。

【方法一】

将上述表达式里的 替换为 ，则有

。

【方法二】注意到 ，

将已知函数表达式里面的 替换为 ，可得

，

即 。

【方法三】令 ，则 。

∴ 已知函数表达式即 。

将上述表达式里的 替换为 ，可得

。

【解析】定义域和值域的定义如下：我们把函数 中，自变量 的取值范围的集合叫做函数的定义域。与之对应，在定义域中，因变量 取值范围的集合则叫做函数的值域。

前面已经提到，对于只有一个自变量的函数，我们通常用 表示自变量。而函数 的自变量只有一个。根据定义域的定义可知，函数 的定义域仍然是自变量 取值范围的集合。

而函数 仅仅表示「关于 的对应法则 」。即：直接把原先函数 中 的位置全部替换为 ，且对应关系 依旧保持不变。通俗地说，就是：先将自变量 减 1，再取对应关系 。

由已知，函数 的定义域为 。定义域指的是函数有意义时，自变量 的取值范围，因此使函数 有意义的自变量 的取值范围是 。不等式链三端同时减 1，得括号内 的取值范围是 。由于函数的定义域取决于它的对应关系 。因此， 函数 的定义域也应该满足 ，解得 。于是，函数 的定义域为 。

前面我们已经提到，符号 表示对各种对应法则的一级泛化，而表达式可以作为对应法则的一种表达形式。因此，我们可以利用取特殊函数的方法对问题的结果加以检验。

检验：易知，满足定义域为 的一个函数 为 。于是，将这个式子中的 全部替换为 ，得 。化简，得 。于是，其定义域为 。

注意：上面「检验」的过程不可以用于解答题。这是因为，问题中的 指的是满足定义域为 的任意一元函数， 仅仅是其中之一。

【分析】

按照上述对符号 的解释，可知：函数 其实就是指「关于 的对应法则 」。即：直接把原先函数 中 的位置全部替换为 ，且自变量与因变量之间的对应关系 依旧保持不变。当然， 既可以是表达式，也可以是函数图像、表格、数据，等等。

这种题型比较特殊的地方在于：由于 与 的和等于 （是一个定值，划重点），因此将 中的 替换成 之后，刚好等于 ，即 。因而，只要我们将已知等式所有 的位置全部替换为 ，一定可以得到满足题意的另一个等式（划重点）。

我们可以考虑将已知表达式中所有 的位置全部替换为 ，再联立两个关于 与 的等式，消去 ，从而求出满足题意的 的表达式。

【注】

这里需要注意的是，我们并不是设 ，而是将 替换为 。（划重点）

无论实数 取何值， 与 永远相差 。只有当 时，二者相等。

这里之所以可以「替换」，是因为等式两边式子的相同部分的位置都可以替换成任何其他的量。题主实在不明白的话，就把 的括号里面的部分直接看成下角标。即：把 、 看成是 、 。

【解】

由已知， ①，

由于 ，我们可以将 ① 式中所有 的位置全部替换为 ，得到另一个符合题意的关于 与 的等式

，

整理，得 ②。

② × 3，得 ③。

① + ③，得 ，

于是， 。

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希望这篇答案能够对题主和用数学改变命运的高中生有所帮助。